2次関数の最大・最小について
概要
2次関数は次のような形をしています： [y = ax^2 + bx + c] ここで、(a)、(b)、(c)は定数です。2次関数のグラフは放物線となり、放物線の頂点に最大値または最小値が存在します。この頂点の(x)座標を求めることで、最大値または最小値の出る位置がわかります。
方法
- 頂点の(x)座標を求めます： 頂点の(x)座標は、次の公式を用いて求めることができます： [x = -\frac{b}{2a}]
- 頂点の(x)座標を代入して、頂点の(y)座標を求めます： 頂点の(y)座標は、(x)座標を2次関数に代入することで求めることができます。
最大値または最小値は、(a)の符号によって決まります。(a)が正の場合は最小値、(a)が負の場合は最大値です。
例題
例題１： 2次関数(y = x^2 - 4x + 3)の最大・最小値を求めてください。
解答１：
- (a = 1)、(b = -4)、(c = 3)であるため、頂点の(x)座標は： [x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2]
- 頂点の(x)座標を2次関数に代入して、頂点の(y)座標を求めます： [y = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1]
したがって、2次関数(y = x^2 - 4x + 3)の頂点は(2, -1)であり、最小値は-1です。
例題２： 2次関数(y = -2x^2 + 8x - 5)の最大・最小値を求めてください。
解答２：
- (a = -2)、(b = 8)、(c = -5)であるため、頂点の(x)座標は： [x = -\frac{8}{2 \cdot -2} = 2]
- 頂点の(x)座標を2次関数に代入して、頂点の(y)座標を求めます： [y = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 5 = 3]
したがって、2次関数(y = -2x^2 + 8x - 5)の頂点は(2, 3)であり、最大値は3です。
2次関数の置き換えによる最大・最小について
概要
高校数学の数学Iにおいて、2次関数の置き換えによる最大・最小について学びます。2次関数は一般的に以下のような形式で表されます。
f(x) = ax^2 + bx + c
この関数は、xの二乗に比例する項(ax^2)、xに比例する項(bx)、定数項(c)から成り立ちます。2次関数のグラフは、放物線の形状をしており、最大値や最小値を持つ場合があります。
この最大値や最小値を求めるためには、以下の手順に従って2次関数を置き換える必要があります。
- 関数を頂点の形式に変形する。
- 変形された関数の頂点の座標を求める。
- 頂点の座標から最大値または最小値を読み取る。
詳細な説明
1. 関数を頂点の形式に変形する
まず、与えられた2次関数を頂点の形式に変形する必要があります。頂点の形式は以下のように表されます。
f(x) = a(x-h)^2 + k
この形式では、頂点の座標が(h, k)となります。
頂点の形式に変形するためには、以下の手順を行います。
- 第一項のx^2の係数aを因数に分解します。(
a(x^2 + (b/a)x)) - 因数分解を行った式を完全平方の形に変形します。(
a(x + b/(2a))^2 - b^2/(4a)) - 完全平方の形に変形した式に定数項cを加え、頂点の形式にします。(
a(x + b/(2a))^2 - b^2/(4a) + c)
2. 変形された関数の頂点の座標を求める
変形された関数の頂点の座標(h, k)を求めるためには、以下の手順を行います。
- 第一項の括弧内(x + b/(2a))の中身を0とする方程式を解きます。(
x + b/(2a) = 0) - 求めたxの値を代入して、hを求めます。(
h = -b/(2a)) - hを元の関数に代入して、kを求めます。(
k = f(h))
3. 頂点の座標から最大値または最小値を読み取る
頂点の座標(h, k)から、最大値または最小値を読み取ることができます。
- 関数が頂点を持つ場合、最大値または最小値は頂点のy座標kです。頂点の下方向に凸であれば最小値、上方向に凸であれば最大値です。
- 関数が頂点を持たない場合、最大値または最小値は存在しません。
例題
例題として以下の2次関数を考えます。
f(x) = 2x^2 - 4x + 3
- 関数を頂点の形式に変形する：
まず、第一項のx^2の係数2を因数に分解します。
f(x) = 2(x^2 - 2x) + 3
次に、式を完全平方の形に変形します。
f(x) = 2(x^2 - 2x + 1 -1) + 3
= 2((x - 1)^2 - 1) + 3
最後に、定数項3を加えて頂点の形式にします。
f(x) = 2(x - 1)^2 - 2 + 3
= 2(x - 1)^2 + 1
- 変形された関数の頂点の座標を求める：
括弧内(x - 1)を0とする方程式を解きます。
x - 1 = 0
x = 1
求めたxの値を代入して、hを求めます。また、hを元の関数に代入して、kを求めます。
h = -b/(2a)
= -(4/(2*2))
= -1
k = f(h)
= f(-1)
= 2(-1 - 1)^2 + 1
= 2(2) + 1
= 5
よって、関数f(x)の頂点の座標は(1, 5)です。
- 頂点の座標から最大値または最小値を読み取る：
関数f(x)は頂点を持つため、最小値は頂点のy座標kである5です。
以上が、2次関数の置き換えによる最大・最小についての概要と説明です。
2次関数の定義域の最大・最小について
2次関数は一般的に以下の形式で表されます：
f(x) = ax^2 + bx + c
ただし、a, b, c は実数で、a ≠ 0 です。
定義域とは、関数が定義される範囲のことを指します。2次関数の場合、そのグラフは放物線を描くため、横方向に広がる範囲（x軸の値）が定義域となります。
2次関数の定義域の最大値・最小値を求めるためには、まずグラフの形状を考慮する必要があります。
- a > 0 の場合、放物線は上に開きます。この場合、定義域は (-∞, +∞) です。
- a < 0 の場合、放物線は下に開きます。この場合、定義域は (-∞, +∞) です。
したがって、いかなる場合でも2次関数の定義域は、実数全体です。
以下に具体的な例題と解答を示します：
例題： f(x) = -2x^2 + 3x - 1 の定義域を求めよ。
解答： この例題の2次関数は a < 0 の形式です。そのため、定義域は実数全体を表します。
定義域： (-∞, +∞)