2次方程式の決定について

概要

2次方程式は、次の形式で表される方程式です。

ax^2 + bx + c = 0

ここで、a、b、cは実数で、かつa ≠ 0です。

2次方程式は、xの2乗の項（ax^2）、xの1乗の項（bx）、定数項（c）の3つの項からなります。

2次方程式の解を求めるために、一般的には2つの方法があります。それぞれ以下で説明します。

解法1: 二次公式を用いる方法

二次公式を用いる方法は、以下の式を用いて解を求めます。

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

この式において、±はプラスとマイナスの両方の解が存在することを示しています。

2次方程式の解は、この二次公式を用いて求めることができます。

解法2: 因数分解を用いる方法

因数分解を用いる方法は、次の手順で解を求めます。

1. 2次方程式が因数分解可能かどうかを確認する。
2. 因数分解可能な場合、左辺を2つの因数の積として表す。
3. 因数分解された式から、各因数が0になるような解を求める。

例題と解答

例題: 2次方程式 3x^2 - 7x + 2 = 0 の解を求めよ。

解答:

解法1: 二次公式を用いる方法

二次公式を適用すると、次のように解を求めることができます。

x = (-(-7) ± √((-7)^2 - 4(3)(2))) / (2(3))
  = (7 ± √(49 - 24)) / 6
  = (7 ± √25) / 6

x1 = (7 + 5) / 6 = 12 / 6 = 2
x2 = (7 - 5) / 6 = 2 / 6 = 1/3

したがって、2次方程式 3x^2 - 7x + 2 = 0 の解は、x = 2またはx = 1/3です。

解法2: 因数分解を用いる方法

因数分解を行うと、次のように因数分解されます。

3x^2 - 7x + 2 = (3x - 1)(x - 2)

因数分解された式から解を求めると、x = 1/3またはx = 2となります。

高校数学 数I - 2次方程式の解の配置

概要

2次方程式は一般的に以下のような形式で表されます。

ax^2 + bx + c = 0

ここで、a、b、cは実数定数であり、aは0ではないとします。この方程式の解は、2つの異なる実数解、重解（重複した解）、または虚数解のいずれかになります。

2次方程式の解の配置は、2次曲線のグラフと関連しています。具体的には、2次方程式の判別式 D = b^2 - 4ac の値によって解の配置が異なります。

解の配置の場合分け

1. 判別式 D > 0 の場合：

   • 解は異なる2つの実数解を持ちます。
   • グラフ上では、2次曲線とx軸が2つの交点を持ちます。

2. 判別式 D = 0 の場合：

   • 解は重解（重複した解）を持ちます。
   • グラフ上では、2次曲線がx軸に接する1つの接点を持ちます。

3. 判別式 D < 0 の場合：

   • 解は複素数解（虚数解）を持ちます。
   • グラフ上では、2次曲線がx軸と交わらず、実数解を持ちません。

例題

例題1

以下の2次方程式の解を求め、その解の配置をグラフで説明してください。

3x^2 + 4x + 1 = 0

解答：

1. まず、判別式 D の値を求めます。

   D = (4^2) - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4
   

   判別式 D の値が正のため、解は異なる2つの実数解を持ちます。

2. 解を求めます。

   x = (-b ± √D) / (2a)
     = (-4 ± √4) / (2(3))
     = (-4 ± 2) / 6
   

   したがって、解は x = -2/3 または x = -1 となります。

3. 解の配置をグラフで説明します。

          |
     ------+------
          |

上記のグラフでは、2次曲線とx軸が異なる2つの交点を持つことがわかります。

例題2

以下の2次方程式の解を求め、その解の配置をグラフで説明してください。

2x^2 + 4x + 2 = 0

解答：

1. まず、判別式 D の値を求めます。

   D = (4^2) - 4(2)(2) = 16 - 16 = 0
   

   判別式 D の値が0のため、解は重解（重複した解）を持ちます。

2. 解を求めます。

   x = (-b ± √D) / (2a)
     = (-4 ± √0) / (2(2))
     = -4 / 4
   

   したがって、解は x = -1 となります。

3. 解の配置をグラフで説明します。

          |
    -------+-------
          |

上記のグラフでは、2次曲線がx軸に接する1つの接点を持つことがわかります。

例題3

以下の2次方程式の解を求め、その解の配置をグラフで説明してください。

x^2 + 2x + 10 = 0

解答：

1. まず、判別式 D の値を求めます。

   D = (2^2) - 4(1)(10) = 4 - 40 = -36
   

   判別式 D の値が負のため、解は複素数解（虚数解）を持ちます。

2. 解を求めます。

   x = (-b ± √D) / (2a)
     = (-2 ± √-36) / (2(1))
     = (-2 ± 6i) / 2
   

   したがって、解は x = -1 + 3i または x = -1 - 3i となります。

3. 解の配置をグラフで説明します。

          |
          |
          |
          |

上記のグラフでは、2次曲線がx軸と交わらず、実数解を持たないことがわかります。

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