整数と証明についての高校数学（数I）の概要は以下の通りです。
整数とは、「0, ±1, ±2, ±3, …」といった数のことを指します。整数は自然数（1, 2, 3,…）に0と負の数を加えた集合と考えることができます。
整数における四則演算（足し算、引き算、掛け算、割り算）や剰余（あまり）の概念など、基本的な演算が学習されます。また、整数の性質や性質の証明方法も学ぶことになります。
整数に関する証明は、主に数学的帰納法や背理法といった証明方法が使用されます。数学的帰納法は、「1や特定の整数で命題が成り立つことを示し、次の整数でも成り立つことを示す」という方法です。一方、背理法は、「ある命題が成り立たないことを仮定し、それが矛盾を生むことを示す」方法です。
整数に関する問題は、実際の生活や他の数学の分野でも応用されることが多いため、しっかりと理解しておくことが重要です。整数の性質を理解し、適切な証明方法を学んで問題にアプローチすることで、高校数学の基礎を固めることができます。
対偶とは、ある命題を逆にした命題が真であるとき、元の命題も真であることを示す証明法です。対偶では、「PならばQ」という命題が与えられた場合、「QでないならばPでない」という逆の命題が真であれば、元の命題が真であることが証明されます。例えば、「もしAならばBである」という命題が真である場合、「もしBでないならばAでない」という逆の命題が真であれば、元の命題が真であることが示されます。
背理法とは、ある命題を否定して導き出される矛盾によって、元の命題が真であることを示す証明法です。背理法では、ある命題が偽であると仮定して、その結果が矛盾を引き起こすことを示します。その矛盾から、元の命題が真であることが導き出されます。例えば、「もしAならばBでない」という命題が真である場合、Aが成り立つにもかかわらずBが成り立たないという矛盾が生じるため、元の命題「AならばB」が真であることが示されます。
対偶と背理法は高校数学の数学Iでよく扱われる証明法の一つであり、論理的思考力を養うのに役立ちます。これらの証明法を通して、命題の真偽を厳密に論理的に示す力を身につけることができます。
高校数学 数Iの不定方程式について
不定方程式とは、未知数が複数ある方程式であり、その解が整数の範囲で求められる方程式のことを指します。通常は2変数以上の未知数を持つことが多く、整数解のみを考える場合が多いです。
例題： 2x + 3y = 7 の整数解を求めよ。
解答・解説： まず、この方程式は2つの未知数 x, y を持つ方程式です。整数解を求めるため、x と y について順番に考えていきます。
まず、x を求めるために、y を0とおいて方程式を解いてみます。 2x + 3(0) = 7 2x = 7 x = 7 / 2 x = 3.5
x が整数である必要があるため、この状況では整数解は存在しません。
次に、y を求めるために、x を0とおいて方程式を解いてみます。 2(0) + 3y = 7 3y = 7 y = 7 / 3 y = 2.33
同様に、y も整数である必要があるため、この状況でも整数解は存在しません。
したがって、この方程式 2x + 3y = 7 には整数解は存在しないことが分かります。