高校数学 数I 三角比の定義と拡張
三角比の定義
三角比とは、三角形の辺や角の長さの比を表す数値のことです。 一般的に、三角形ABCにおいて、角Aの対辺をa、角Bの対辺をb、角Cの対辺をcとすると、 以下の三つの三角比が定義されます。
- 正弦（sine）：sinA = a/c
- 余弦（cosine）：cosA = b/c
- 正接（tangent）：tanA = a/b
三角比の拡張
三角比は、半径1の単位円上に点をとり、角度によって点を動かしたときの座標を用いて定義されます。 このような定義を用いることで、三角比は円周上の点の位置によって求めることができるようになります。
また、三角比はその性質や関係性によって、以下のような関係性が成り立っています。
- 余弦定理による関係：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosA
- 直角三角形における関係：sin^2A + cos^2A = 1
- 表裏関係（補角の関係）：sin(A) = cos(90°-A)
三角比は、三角形や円の図形の性質を理解する上で重要な概念であり、さまざまな数学的問題や応用問題にも利用されます。
数Iの単位円と三角比について、以下の概要と詳細な説明を示します。
概要
数学の数Iにおいて、三角比は三角形の辺や角度の関係を表すために用いられる重要な概念です。単位円は、半径が1の円を表し、三角比を円上の点の位置として捉えることができます。三角比は主に、正弦(sin)、余弦(cos)、正接(tan)の3つの基本的な比の値が重要視されます。
詳細な説明
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正弦(sin)
- 与えられた角度θの正弦は、単位円上の点P(1, sin(θ))のy座標に対応します。
- 三角形の辺の長さや傾きを表す際に使用される。
- 正弦の値は-1から1の間を取り、周期的に変化する。
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余弦(cos)
- 与えられた角度θの余弦は、単位円上の点P(cos(θ), 1)のx座標に対応します。
- 三角形の辺の長さや傾きを表す際に使用される。
- 余弦の値も-1から1の間を取り、周期的に変化する。
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正接(tan)
- 与えられた角度θの正接は、単位円上の点P(tan(θ), 1)と点O(0,0)を結ぶ直線とx軸との交点Pのx座標に対応します。
- tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) で定義され、sinとcosの比として考えられる。
- tanθの値は実数全体を取り、周期的でない関数となる。
このように、数Iの単位円と三角比は、三角形や周期的な現象を数学的にモデル化する際に重要なツールとして活用されます。三角比を理解することで、複雑な問題をシンプルに表現し、解決することが可能となります。