中学数学の回転移動について
平面図形の回転移動について
概要
平面図形の回転移動は、平面上での図形の位置や形状を変化させる操作です。図形を中心点を軸に回転させたり、平行移動させたりすることができます。この操作は、数学の中学校の学習内容としても非常に重要です。
例題を用いた説明
例として、正方形を回転移動する方法を説明します。正方形ABCDの各頂点は、座標平面上の点A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1)とします。
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回転移動の基準点の選定: 回転移動するためには、まず回転の中心となる基準点を選ぶ必要があります。ここでは、正方形の中心点O(0.5, 0.5)を基準点とします。
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回転の操作: 正方形を回転移動させるためには、回転の角度と回転の方向（反時計回りまたは時計回り）を指定する必要があります。例えば、正方形を点Oを中心に90度反時計回りに回転させる場合、頂点AはA’、BはB’、CはC’、DはD’に移動します。頂点A’の座標は、OAを対象線とした場合の点A’の座標を求めることで得られます。同様に、他の頂点の座標も求めます。
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平行移動の操作: 回転操作が終わった後に、図形をさらに平行移動させることもできます。例えば、回転させた正方形をさらに右に1つ分平行移動させる場合、各頂点のx座標を1つ分ずらせば求めることができます。
サンプルの例題とその答え
例題
正方形の各頂点の座標がA(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1)で与えられています。この正方形を中心点O(0.5, 0.5)を中心に90度反時計回りに回転させ、さらに左に2つ分、下に1つ分平行移動させた正方形の各頂点の座標を求めてください。
解答
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回転の操作により、正方形の各頂点は以下のように移動します。
- A(0,0) → A’(0.5, -0.5)
- B(1,0) → B’(1.5, 0.5)
- C(1,1) → C’(0.5, 1.5)
- D(0,1) → D’(-0.5, 0.5)
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平行移動の操作により、各頂点の座標を修正します。
- A’ → A’’(-1.5, -0.5)
- B’ → B’’(-0.5, 0.5)
- C’ → C’’(-1.5, 1.5)
- D’ → D’’(-2.5, 0.5)
したがって、回転させた後に平行移動させた正方形の各頂点の座標は、A’’(-1.5, -0.5)、B’’(-0.5, 0.5)、C’’(-1.5, 1.5)、D’’(-2.5, 0.5)です。
まとめ
平面図形の回転移動は、図形を中心点を軸に回転させたり、平行移動させたりする操作です。中学校の数学の学習内容としても重要であり、正方形を例にして説明しました。回転の操作を行う場合は、回転の角度と方向を指定し、中心点を基準に頂点の座標を計算します。また、回転の後に平行移動を行う場合は、各頂点の座標を修正します。これらの操作により、図形の位置や形状を自由に変化させることができます。