中学数学の二次方程式について

二次方程式について

二次方程式とは、次式の形を持つ方程式のことを指します。

$$ax^2 + bx + c = 0$$

ここで、$a$、$b$、$c$は実数または複素数、$x$は未知数です。二次方程式は、$x$に関して2次の多項式で表されており、一般的には2つの解をもちます。

例題を通じて、二次方程式の性質を詳しく説明します。

例題1: $x^2 - 5x + 6 = 0$

この方程式は、$a=1$、$b=-5$、$c=6$となります。まず、解の公式を使ってこの方程式の解を求めてみましょう。

二次方程式の解の公式は次のように表されます。

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

ここで、$b^2 - 4ac$は判別式と呼ばれます。この判別式の値によって、解の性質が変わります。

判別式が正のとき、二次方程式は2つの異なる実数解を持ちます。判別式が0のとき、二次方程式は重解を持ちます。判別式が負のとき、二次方程式は2つの異なる複素数解を持ちます。

例題1を解くために、判別式を求めてみます。

判別式の値は、$b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1$となります。この値は正のため、方程式は2つの異なる実数解を持ちます。

解の公式に値を代入して、解を求めると次のようになります。

$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1}$$

これを計算すると、$x = 3$または$x = 2$となります。したがって、方程式$x^2 - 5x + 6 = 0$の解は、$x = 3$および$x = 2$です。

以下にいくつかのサンプルの例題とその答えを示します。

例題2: $2x^2 + 3x - 5 = 0$

この方程式の解を求めてみましょう。

判別式を求めると、$b^2 - 4ac = (3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 79$です。判別式が正のため、方程式は2つの異なる実数解を持ちます。

解の公式に値を代入して、解を求めると次のようになります。

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{79}}{4}$$

これを計算すると、約$x = -2.28$および$x = 0.78$となります。したがって、方程式$2x^2 + 3x - 5 = 0$の解は、$x \approx -2.28$および$x \approx 0.78$です。

例題3: $x^2 + 4 = 0$

この方程式の解を求めてみましょう。

判別式を求めると、$b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -16$です。判別式が負のため、方程式は2つの異なる複素数解を持ちます。

解の公式に値を代入して、解を求めると次のようになります。ここで、$\sqrt{-16} = 4i$です。（$i$は虚数単位です）

$$x = \frac{-0 \pm 4i}{2 \cdot 1}$$

これを計算すると、$x = -2i$または$x = 2i$となります。したがって、方程式$x^2 + 4 = 0$の解は、$x = -2i$および$x = 2i$です。

以上が、中学数学の二次方程式に関する内容です。